La inteligencia artificial (IA) ha avanzado considerablemente en los últimos años, y ahora se está utilizando en una amplia gama de campos, desde la reconocimiento de voz hasta la conducción autónoma de vehículos. Pero, ¿pueden las computadoras utilizar la inteligencia artificial para descubrir y demostrar nuevos teoremas matemáticos?
El surgimiento de la IA
El campo moderno de la inteligencia artificial comenzó en 1950 con el famoso artículo de Alan Turing computing machinery and intelligence, que describía los principios de la IA y proponía la prueba de Turing. Sin embargo, a pesar de las expectativas iniciales de que los sistemas de IA serían una realidad en poco tiempo, las promesas exageradas llevaron a la decepción en los años 70 y 80.
Un avance importante se produjo a finales de los años 90 y principios de los 2000 con la aparición de los métodos basados en el teorema de Bayes, que rápidamente desplazaron a los métodos más antiguos basados principalmente en el razonamiento formal. Junto con el avance constante de la tecnología informática, estos métodos de IA prácticos y efectivos finalmente comenzaron a aparecer en diferentes campos.
Un hito notable en la tecnología moderna de IA se produjo en marzo de 2016, cuando un programa de computadora llamado alphago, desarrollado por investigadores de DeepMind (una subsidiaria de Alphabet, la empresa matriz de Google), derrotó a Lee Se-dol, un maestro coreano de Go, por 4-1 en un torneo de 5 juegos. Este logro sorprendió a muchos, ya que no se esperaba que ocurriera durante décadas, si es que alguna vez ocurría. Posteriormente, en octubre de 2017, los investigadores de DeepMind desarrollaron desde cero un nuevo programa llamado alphago zero, que fue programado solo con las reglas del Go y una función de recompensa simple, y se le instruyó a jugar contra sí mismo. Después de solo tres días de entrenamiento (9 millones de partidas de entrenamiento), el programa AlphaGo Zero había avanzado hasta el punto de derrotar al programa anterior AlphaGo en 100 partidas a cero, y después de 40 días de entrenamiento, el rendimiento de AlphaGo Zero estaba tan adelante de los jugadores humanos campeones como los jugadores humanos campeones están adelante de los aficionados.
La IA y los métodos de aprendizaje automático se utilizan no solo para jugar al Go, sino también en sistemas de reconocimiento de voz como Siri de Apple y Alexa de Amazon, en la API de reconocimiento facial de Facebook, en el hardware y software de reconocimiento facial 3D de Apple, y en la función autopilot de Tesla.
Descubrimiento de teoremas matemáticos por computadora
En realidad, los programas de computadora que descubren nuevas identidades y teoremas matemáticos ya son comunes en el campo conocido como matemáticas experimentales. Aquí hay solo algunos ejemplos de los muchos descubrimientos basados en computadora que podrían mencionarse:
- Encontrar nuevos números primos de Mersenne y números primos gemelos.
- Descubrir nuevas fórmulas y relaciones en la teoría de números.
- Encontrar soluciones a ecuaciones diophantinas.
En la mayoría de los ejemplos anteriores, los nuevos hechos matemáticos se encontraron mediante exploración numérica en una computadora y luego se demostraron rigurosamente, de la manera tradicional, principalmente mediante esfuerzos humanos. Pero, ¿qué pasa con las computadoras que realmente demuestran teoremas?
En realidad, esto también es algo antiguo en este momento. Quizás el mejor ejemplo sea la prueba del conjetura de kepler realizada por Thomas Hales en 200Esta conjetura afirmaba que el apilamiento de naranjas que se ve típicamente en un supermercado tiene la densidad promedio más alta posible para cualquier disposición posible, regular o irregular. La prueba original de Hales generó cierta controversia, ya que involucraba un cálculo documentado en 250 páginas de notas y 3 GB de código y datos de computadora. Entonces, Hales y sus colegas comenzaron a ingresar toda la prueba en un programa de verificación de pruebas de computadora. En 2014, este proceso se completó y la prueba fue certificada.
En noviembre de 2019, investigadores del centro de investigación de Google en Mountain View, California, publicaron resultados de un nuevo programa de demostración de teoremas de IA. Este programa trabaja con el demostrador de teoremas HOL-Light, que se utilizó en la prueba de Hales de la conjetura de Kepler, y puede demostrar, esencialmente sin ayuda humana, muchos teoremas básicos de matemáticas. Han proporcionado su herramienta en una versión de código abierto, para que otros matemáticos y científicos de la computación puedan experimentar con ella.
El sistema de IA de Google fue entrenado con un conjunto de 10,200 teoremas que los investigadores habían obtenido de varias fuentes, incluyendo muchos subteoremas de la prueba de Hales de la conjetura de Kepler. La mayoría de estos teoremas se encontraban en el área del álgebra lineal, el análisis real y el análisis complejo, pero los investigadores de Google enfatizan que su enfoque es muy ampliamente aplicable. En la versión inicial, su software pudo demostrar 5919, o el 58% del conjunto de entrenamiento. Cuando aplicaron su software a un conjunto de 3217 nuevos teoremas que aún no había visto, logró demostrar 1251, o el 39%.
Los matemáticos ya están imaginando cómo se puede utilizar este software en la investigación diaria. Jeremy Avigad de la Carnegie Mellon University lo ve de la siguiente manera:
Obtienes el máximo de precisión y corrección, pero no tienes que hacer el trabajo de completar los detalles. ... tal vez delegar algunas cosas que solíamos hacer a mano nos libera para buscar nuevos conceptos y hacer nuevas preguntas.
¿Qué tan cerca estamos de un razonamiento matemático completamente automático?
Los demostradores de teoremas informatizados de hoy en día generalmente se clasifican como demostradores de teoremas automatizados (ATPs), que utilizan métodos computacionalmente intensivos para buscar una prueba; y demostradores de teoremas interactivos, que dependen de una interacción con humanos, verificando la corrección de un argumento y comprobando pruebas en busca de errores lógicos. Los investigadores en el campo, sin embargo, reconocen que ambos tipos de software todavía están lejos de ser un sistema de razonamiento matemático completamente independiente basado en computadora.
Estas herramientas han sido recibidas con frialdad por muchos matemáticos de la actualidad, en parte porque requieren un estudio y práctica considerable para llegar a ser competente en su uso, y en parte debido a una aversión general a la idea de automatizar el pensamiento matemático.
Pero algunos matemáticos están adoptando estas herramientas. Kevin Buzzard del Imperial College London, por ejemplo, ha comenzado a centrar su investigación en demostradores de teoremas informatizados. Pero reconoce que las computadoras han realizado cálculos asombrosos para nosotros, pero nunca han resuelto un problema difícil por sí mismas. ... hasta que lo hagan, los matemáticos no van a creer en estas cosas.
Emily Riehl, de la Universidad Johns Hopkins, enseña a los estudiantes a escribir demostraciones matemáticas utilizando una herramienta informatizada. Ella afirma que estas herramientas ayudan a los estudiantes a formular rigurosamente sus ideas. Incluso para su propia investigación, dice que utilizar un asistente de prueba ha cambiado la forma en que pienso acerca de escribir demostraciones.
Vladimir Voevodsky de la Universidad de Princeton, después de encontrar un error en uno de sus propios resultados publicados, fue un ardiente defensor de usar computadoras para verificar demostraciones, hasta su muerte en 201Timothy Gowers de Cambridge, quien ganó la Medalla Fields en 1998, va aún más allá, diciendo que las principales revistas matemáticas deberían prepararse para el día en que los autores de todos los artículos presentados primero certifiquen que sus resultados han sido verificados por un verificador de pruebas informatizado.
Josef Urban del Instituto Checo de Informática, Robótica y Cibernética cree que se requiere una combinación de demostradores de teoremas informatizados y herramientas de aprendizaje automático para producir capacidades de investigación matemática similares a las humanas. En julio de 2020, su grupo informó sobre algunas nuevas conjeturas matemáticas generadas por una red neuronal que fue entrenada con millones de teoremas y demostraciones. La red propuso más de 50,000 nuevas fórmulas, pero, como reconocieron, muchas de ellas eran duplicadas: parece que todavía no somos capaces de demostrar las conjeturas más interesantes.
Un equipo de investigación dirigido por Christian Szegedy de Google Research ve los demostradores de teoremas automatizados como un subconjunto del campo del procesamiento del lenguaje natural, y planea aprovechar los avances recientes en el campo para demostrar un razonamiento matemático sólido. Él y otros investigadores han propuesto un esquema de tareas de skip-tree que muestra capacidades de razonamiento matemático sorprendentemente fuertes. De los miles de conjeturas generadas, aproximadamente el 13% eran tanto demostrables como nuevas, en el sentido de no ser meramente duplicados de otros teoremas en la base de datos.
¿Qué nos depara el futuro?
Entonces, ¿hacia dónde se dirige todo esto? En cuanto a las matemáticas por computadora, Timothy Gowers predice que las computadoras podrán superar a los matemáticos humanos para 209Dice que esto puede llevar a una breve edad de oro, cuando los matemáticos aún dominen el pensamiento original y los programas de computadora se centren en los detalles técnicos, pero creo que durará muy poco tiempo, dado que no hay razón para que las computadoras no puedan llegar a ser competentes en los aspectos más creativos de la investigación matemática también.
El futurista Ray Kurzweil predice que en una era aún anterior (aproximadamente en 2045), la inteligencia de las máquinas se encontrará primero con la inteligencia humana y luego la superará, lo que llevará a una tecnología aún más poderosa, en un ciclo vertiginoso que solo podemos imaginar vagamente (una singularidad). Al igual que Gowers, Kurzweil no ve ninguna razón por la cual los aspectos creativos del pensamiento humano, como el razonamiento matemático, sean inmunes a estos desarrollos.
No todos están felices con estas perspectivas. Bill Joy, por ejemplo, está preocupado de que en la singularidad de Kurzweil, los humanos puedan ser relegados a roles menores, si no se extinguieran finalmente. Sin embargo, se debe reconocer que incluso hoy en día, los sistemas similares a la IA ya manejan muchos procesos de toma de decisiones importantes, desde finanzas e inversiones hasta la predicción del clima, utilizando procesos de toma de decisiones que los humanos solo entienden vagamente.
Una implicación de todo esto es que la formación matemática, tanto para los estudiantes de matemáticas como para otros estudiantes, debe incorporar de manera agresiva la tecnología informática y enseñar métodos informáticos para el análisis e investigación matemática, en todos los niveles de estudio. Los temas para los futuros matemáticos deben incluir una sólida formación en informática (programación, estructuras de datos y algoritmos), junto con estadísticas, análisis numérico, aprendizaje automático y cómputo simbólico (o al menos el uso de una herramienta de cómputo simbólico como Mathematica, Maple o Sage).
De manera similar, los departamentos universitarios de ingeniería, física, química, finanzas, medicina, derecho y ciencias sociales deben mejorar significativamente su formación en habilidades informáticas, como programación, aprendizaje automático, estadísticas y gráficos. Grandes empresas de tecnología como Amazon, Apple, Facebook, Google y Microsoft ya están atrayendo de manera agresiva a los mejores talentos en matemáticas, ciencias de la computación y aprendizaje automático. Otros empleadores, en otros campos, pronto buscarán el mismo grupo de candidatos.
De una forma u otra, las computadoras inteligentes están llegando y están destinadas a transformar campos que van desde la investigación matemática hasta el derecho y la medicina. La sociedad en general debe encontrar una manera de adaptarse a esta tecnología y tratar respetuosamente a las muchas personas cuyas vidas se verán afectadas. Pero no todo es pesimismo. El matemático Steven Strogatz vislumbra un futuro mixto:
La ia y la inteligencia humana no son mutuamente excluyentes, y juntas pueden llevarnos a nuevos descubrimientos y avances en el conocimiento.
Consultas habituales
- ¿Qué es la inteligencia artificial?
- ¿Cuál es el papel de la inteligencia artificial en la investigación matemática?
- ¿Cómo utilizan las computadoras la inteligencia artificial para descubrir nuevos teoremas matemáticos?
- ¿Cuáles son algunos ejemplos de teoremas matemáticos descubiertos por computadoras?
- ¿Qué avances se han logrado en el campo de los demostradores de teoremas informatizados?
- ¿Qué papel jugarán las computadoras en la investigación matemática en el futuro?
La inteligencia artificial está demostrando ser una herramienta valiosa en la investigación matemática. Aunque aún estamos lejos de tener sistemas de IA que puedan reemplazar por completo a los matemáticos humanos, los avances recientes en el campo son prometedores. Con el tiempo, es probable que veamos más descubrimientos matemáticos realizados por computadoras y una mayor colaboración entre humanos y máquinas en la investigación matemática. Este es un emocionante campo en desarrollo y vale la pena estar atentos a los avances futuros.
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